Теорема 5. 1 (формула Грина)

Пусть С – положительно направленная замкнутая кривая, ограничивающая область D, а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вкупе со своими производными в области D и на границе C. Тогда имеет место равенство

.

(без подтверждения). Это равенство именуют формулой Грина.

Пример 3.

Вычислить .

Решение:Тут Р(х, у) = у, Q Теорема 5. 1 (формула Грина)(x, y) =(x+1), . Тогда по формуле Грина

.

Тут мы используем свойство двойного интеграла

Заметим, что если , то

Разглядим три варианта:

Тогда

Таким макаром, при помощи криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру С можно отыскать площадь области, ограниченной этим контуром:

Справедливо также последующая принципиальная

Аксиома 5.2

Если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны совместно Теорема 5. 1 (формула Грина) со своими производными в области D и , то последующие утверждения эквивалентны:

1. для хоть какого замкнутого контура ;

2. - не находится в зависимости от пути интегрирования АВ, а зависит только от исходной А и конечной В его точек и обозначается: . Условие при всем этом именуют условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Теорема 5. 1 (формула Грина).

3. существует функция и(х,у) такая, что а тогда и

.

Подтверждение первого из этих утверждений просто следует из формулы Грина. Подтверждение второго из этих утверждений проведите либо изучите без помощи других.

Третье утверждение разглядим без подтверждения. Отметим только его принципиальный смысл: равенство , по существу, представляет аналог формулы Теорема 5. 1 (формула Грина) Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла второго рода. Если при всем этом А(х0, y0) – некая фиксированная точка, а В(x, y) – текущая точка области D, то

,

что значит аналог аксиомы Барроу, где С = - u(х0, y0). Таким макаром, если по известному дифференциалу функции 2-ух переменных требуется отыскать функцию u(х, y Теорема 5. 1 (формула Грина)), необходимо вычислить криволинейный интеграл второго рода от выражения du по хоть какому пути, соединяющему произвольную фиксированную точку (х0, у0) области определения функций и текущую точку (х, у). Разумеется, такие функции определяются с точностью до константы.

Пример 4.

Вычислить

Потому что P = x+2y, Q = y+2x – непрерывные функции, – тоже непрерывные и Теорема 5. 1 (формула Грина) производится условие , то интеграл не находится в зависимости от вида кривой, а зависит только от точек (1, 1) и (3, 5). Означает, можно избрать всякую линию, их соединяющую.

Разглядим ломанную АСВ, где С (3, 1), со звеньями, параллельными осям координат. Тогда

Но АС: y = 1, dy = 0, x Î [1, 3],

CB: x = 3, dx = 0, y Î [1, 5].

Тогда

Разглядим прямую АВ: 2(x-1) = (y Теорема 5. 1 (формула Грина)-1), откуда

y = 2x-2+1, y = 2x-1, а dy = 2dx. Тогда

.

Пример 5.

Отыскать функцию U(x,y) по ее дифференциалу

dU = ( x4+ 4xy3)dx + (6x3y2 - 5y4)dy.

Решение:Убедимся в том, что для P=x4+4xy3 и Q=6x3y2-5y4 производится условие .

Тогда

= ,

где .

Если взять (х0, y0)= (0, 0), получим:

.

В Теорема 5. 1 (формула Грина) случае функции 3-х переменных и пространственной кривой L, условия независимости интеграла от пути интегрирования (либо того, что есть дифференциал некой функции) имеют вид:

Пример 6.

Вычислить .

Решение:Тут , , означает, данный криволинейный интеграл не находится в зависимости от пути интегрирования, в только от исходной (0, 0, 0) и конечной (2, 3, 4) точек. Возьмем, к примеру отрезок прямой, соединяющей эти Теорема 5. 1 (формула Грина) точки, его уравнения

.

Тогда


temperament-tipi-temperamenta-referat.html
temperamentsotrudnikaimotivatori.html
temperatura-kontroliruetsya.html