Теорема Коши. Интегральная формула Коши

Глава 3. Интегрирование ФКП

Определение интеграла от ФКП, вычисление и характеристики

Пусть l – дуга направленной кусочно–гладкой кривой, уравнение которой где , лежащей в плоскости (z). Пусть на l лежат точки А и В. Кривая ориентирована, означает на ней задано направление: при возрастании t точка перемещается от т. А к т. В. Пусть на кривой Теорема Коши. Интегральная формула Коши задана конкретная и непрерывная ФКП . Разобьем дугу АВ произвольным образом точками на n простых дуг, , подходящим значениям параметра: . Обозначим . Выберем на каждой простой дуге по точке , и составим интегральную сумму: .

Определение 44.Если существует конечный предел интегральной суммы при , который не зависит ни от метода разбиения дуги на простые дуги Теорема Коши. Интегральная формула Коши, ни от выбора на их точек , то он именуется интегралом от функции по дуге кривой l и обозначается .

Аксиома 9 (существования). Если функция непрерывна на l , то интеграл от нее по дуге l существует.

Разглядим функцию , где Отсюда Тогда интегральная сумма запишется в виде: .

Перейдем к лимиту при Теорема Коши. Интегральная формула Коши и получим формулу для вычисления интеграла:

. (18)

В итоге получили полную аналогию меж криволинейными интегралами 2-го рода и интегралами от ФКП. Таким макаром, вычисление интеграла от ФКП сводится к вычислению 2-ух криволинейных интегралов.

Характеристики

1. .

2. .

3. .

4. , .

5. .

6. Если – аналитическая функция, то интеграл не находится в зависимости от пути интегрирования l.

Замечание.Если дуга l задана Теорема Коши. Интегральная формула Коши параметрическим уравнением , где , то . Если дуга – окружность с центром сначала координат либо часть окружности, то удобнее представить ее уравнение в виде .

Пример 1. Вычислить , где l – верхняя полуокружность с обходом против часовой стрелки (рис. 30).

Решение.

, тогда , .

, тогда .

Подставим в формулу (18) для вычисления интеграла.

.

Если в примере окружность задать параметрическим уравнением Теорема Коши. Интегральная формула Коши: , где , а , то интеграл преобразуется к виду:

.

Замечание. При интегрировании неоднозначной функции нужно выделять ее конкретную ветвь. Это достигается обычно заданием значения неоднозначной функции в некой точке контура интегрирования.

Пример 2. Вычислить по данному контуру , где одно из значений корня .

Решение.

– неоднозначная функция. Представим ее в показательной форме: .

В условии задачки рассматривается Теорема Коши. Интегральная формула Коши , при этом , как следует, . Тогда имеем, что , (*)

где

Для интегрирования нужно выделить конкретную ветвь данной функции , т.е. отыскать значение k. Для этого применим данное значение неоднозначной функции в точке z = 1: (**)

Найдем значение корня в тригонометрической форме: .

как следует, . Тогда получим, что . (***)

Сравним выражения (**) и (***):

условию (**) удовлетворяет Теорема Коши. Интегральная формула Коши та конкретная ветвь функции, для которой k = 1. Подставим k = 1 в (*):

.

Запишем переменную z в показательной форме: , а потому что по условию , то . Найдем дифференциал dz: .

Пределы интегрирования даны в условии задачки: .

Подставим отысканные , z, dz в начальный интеграл:

.

Аксиома Коши. Интегральная формула Коши

Аксиома 10 (аксиома Коши).Если функция конкретная аналитическая функция в односвязной Теорема Коши. Интегральная формула Коши области D, ограниченной контуром L и l – замкнутый контур в области D (рис. 31), то

(19)

Если, дополнительно, функция – непрерывна в замкнутой области , то

(20)

Подтверждение(19).

По формуле (18) . В силу аналитичности функции функции u(x,y) и v(x,y) образуют гармоническую пару, для которой справедлива аксиома 6: . Как следует, , что и требовалось обосновать.


temperaturnie-popravki-k-plotnosti.html
temperaturnij-gisterezis-vgeterogennomkatalize-doklad.html
temperaturnij-rezhim-gazoprovoda-effekt-dzhoulya-tomsona-uravnenie-shuhova.html