Теорема Кронекера-Капелли.

Тема: « Системы линейных алгебраических уравнений».

Составила: студентка 1-ого курса

ИрГУПС, группа Э-09-11-1

С.С.Сергина

Р.Р.Казарова

Под редакцией доктора

В.К.Турчанинова

г.Северобайкальск.2011г.

Системы линейных алгебраических уравнений.

Главные понятия:

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, именуется система вида:

Числа именуются коэффициентами системы. Числа – свободными членами. Нахождению подлежат Теорема Кронекера-Капелли. неведомые .

Основной матрицей данной системы именуется матрица, состоящая из коэффициентов , вида: ,

Расширенной матрицей именуется основная матрица данной системы , дополненная столбцом из свободных членов:

Система уравнений именуется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Несовместная система не имеет ни 1-го решения.

Совместная система именуется определенной, если она имеет единственное решение.

Неопределенная система Теорема Кронекера-Капелли. имеет более 1-го решения.

Каждое из её решений носит заглавие личного решения. Совокупа всех личных решений даёт общее решение.

Решить систему, означает найти, сначала, совместна ли она либо несовместна. Если система совместна, то

тогда отыскать её общее решение.

Аксиома Кронекера-Капелли.

Пусть дана случайная система линейных уравнений числом Теорема Кронекера-Капелли. m- и n- неведомыми.

Исчерпающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает нам аксиома Кронекера-Капелли.

Её сущность: система линейных алгебраических уравнений совместна и тогда только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу её основной матрицы:rangA=rang

Фактически полезное правило, позволяющее разыскивать все решения Теорема Кронекера-Капелли. линейной системы уравнений формулируется последующим образом: если ранг совместной системы равен числу неведомых, то система имеет единственное решение.

2-ое полезное правило: если ранг системы( совместной) меньше числа неведомых, то система имеет нескончаемое огромное количество решений.

Метод решений случайной системы линейных уравнений:

1.Отыскать ранг основной и расширенной матрицы исследуемой системы. Если Теорема Кронекера-Капелли. rang =rangA, то система совместна. В неприятном случае она несовместна.

2.Если система совместна, необходимо отыскать какой-нибудь базовый минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базовый минор. Неведомые, коэффициенты которых составляют базовый минор, носят заглавие основных. Другие n-r неведомых именуются свободными и переносятся Теорема Кронекера-Капелли. в правые части уравнений.

3.Отыскать выражение основных неведомых через свободные, получив тем общее решение.

4.Придавая свободным неведомым произвольные значения, получить надлежащие значения основных неведомых. Таким макаром находятся личные решения начальной системы линейных уравнений.

Примеры:

№1

Показать, что эта система совместна, используя аксиому Кронекера –Капелли:

Решение:

Система линейных алгебраических уравнений совместна Теорема Кронекера-Капелли., если ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы, т.е., rang =rang A.

  1. Составим основную и расширенную матрицу данной системы:

основная матрица данной системы

расширенная матрица данной системы

  1. Найдём ранг основной матрицы(rangA). Для этого запишем определители третьего порядка, так как матрица содержит три строчки. Таких определителей – четыре

Потому что определитель, имеющий 2 схожих ряда равен Теорема Кронекера-Капелли. 0.

-(по свойству определителей)

Все определители третьего порядка равны нулю, потому найдём миноры 2-го порядка.

Общее число таких миноров- восемнадцать . Найдем посреди их хотя бы несколько не равных нулю:

Видно, что посреди их есть не равные нулю миноры.

Означает rangA=2.

3.Сейчас найдем rang .Потому что матрица имеет три строчки, ищем Теорема Кронекера-Капелли. миноры третьего порядка. Их общее число – 10

- (определители, имеющие 2 схожих ряда, равны 0.)

- (для определителей с 2-мя схожими рядами)

Потому что миноры 3-го порядка равны нулю, то найдем, не равные нулю, миноры 2-го порядка. Таких миноров – 30 Посреди их есть не равные нулю:

Означает rang =2

Вывод:Потому что rang Теорема Кронекера-Капелли. A=2, то, по аксиоме Кронекера - Капелли, исследуемая система совместна.

№2

Изучить на сопоставимость, приведенную ниже систему:

Решение:

1.Составим основную и расширенную матрицы:

2.Для определения rang A и системы в целом вычислим миноры 3-го порядка основной матрицы и выявим посреди их не равные нулю, если таких нет, аналогично исследуем миноры 2-го порядка:

Общее число Теорема Кронекера-Капелли. миноров третьего порядка 10

rang A=3

Есть хорошие от нуля, миноры третьего порядка. Найдем несколько, не равных нулю, миноров второго порядка. Их общее число – 30

Есть хорошие от нуля миноры второго порядка, как следует rang A=2

3.Сейчас найдём миноры третьего порядка расширенной матрицы. Их общее число- 20

Потому отыщем Теорема Кронекера-Капелли. несколько таких миноров, не равных нулю:

Есть хорошие от нуля миноры третьего порядка, как следует, rang =3

Вывод:Потому что rang =rang A,то, по аксиоме Кронекера- Капели( системы линейных алгебраических уравнений совместна только тогда, когда rang A=rang ), эта система несовместна.

№3

Обследуйте на сопоставимость , ниже приведенную систему, используя аксиому Кронекера Теорема Кронекера-Капелли. – Капелли:

Решение:

По аксиоме Кронекера – Капелли система совместна только тогда, когда rang A=rang

Находим rang A и rang и потом исследуем на сопоставимость систему.

1.Запишем основную и расширенную матрицу:

2.Вичислим миноры основной матрицы. Она имеет три столбца, потому сначала ищем определители третьего порядка. Их общее число- четыре

Все Теорема Кронекера-Капелли. миноры третьего порядка не равны нулю.

Означает rang A=3.

3.Для определения rang Вычислим миноры расширенной матрицы. Она имеет четыре строчки и столбца. Потому сначала вычислим её определитель 4-ого порядка:

det A=

Он не равен нулю. Означает rang =4.

Вывод:Потому что rangA rang , то по аксиоме Кронекера – Капелли, эта система Теорема Кронекера-Капелли. несовместна.

Задание для самостоятельной работы:

Показать, что система совместна( либо несовместна)используя аксиому Кронекера – Капелли :

№1

Ответ: система совместна.

№2

Ответ: система совместна.

№3

Ответ: система несовместна.

№4

Ответ: система совместна

№5

Ответ: система совместна.


temperaturno-vlazhnostnij-rezhim.html
tempi-gazifikacii-v-rossii-5-problemi-povisheniya-effektivnosti-uchastiya-rossii-v-evropejskom-rinke-gaza-61.html
tempi-rosta-prilozhenie-1-k-strategicheskomu-planu-razvitiya-g-o-tolyatti-do-2020-g-po-itogam-analiticheskogo-etapa.html