Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами).

Пусть - общее решение ЛОДУ , - личное решение соответственного ЛНДУ, тогда функция является общим решением ЛНДУ.

1)Для нахождения общего решения ЛОДУ составляется уравнение

, (9.16)

которое именуется характеристическим. Оно выходит подменой в ЛОДУ (9.14) у'' на , y' на k, y на 1.

Уравнение (9.6), будучи квадратным уравнением, может иметь или действительные разные корешки, или действительные равные, или всеохватывающие сопряженные.

Общее Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). решение однородного уравнения находится в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Корешки характеристического уравнения Общее решение ЛОДУ
Действительные разные корешки (D>0, D – дискриминант характеристического уравнения)
Действительные равные корешки (D=0)
Всеохватывающие сопряженные корешки (D<0)

Пример 74. Отыскать общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменив у'' на , y' на k, y на 1 : .

Находим Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). его корешки .

Корешки характеристического уравнения действительные разные,

как следует, общее решение имеет вид: .

Пример 75. Отыскать общее решение уравнения: .

Решение. Составляем характеристическое уравнение: .

Решаем его: .

- корешки характеристического уравнения действительные, равные, как следует, общее решение имеет вид:

Пример 76. Отыскать общее решение уравнения: .

Решение.Составляем характеристическое уравнение: .

Решаем его: ( - надуманная единица, потому ).

- корешки Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). характеристического уравнения всеохватывающие сопряженные a=3, b=1, как следует, общее решение имеет вид:

.

2) Перейдем к нахождению личного решения ЛНДУ.

В случае, когда - правая часть имеет особый вид , личное решение такового уравнения может быть найдено по виду способом неопределённых коэффициентов.

Разглядим этот способ.

а) Правая частьЛНДУ (9.13) имеет вид: ,

где - данный Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). многочлен степени n, a - данное действительное число. В данном случае имеем уравнение . Его личное решение необходимо находить в виде:

,

где - многочлен степени n с неведомыми коэффициентами, а

r – кратность корня a характеристического уравнения( если a - не корень, то r= 0).

Укажем для справки вид многочленов нулевой, первой, 2-ой и

третьей степеней:

Пример 77. Отыскать общее решение Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). уравнения (*).

Решение. 1) Находим поначалу общее решение соответственного однородного уравнения: .

Составляем характеристическое уравнение: и находим его корешки . Потому что корешки действительные и разные, то общее решение однородного уравнения имеет вид: .

2) Сейчас найдём личное решение неоднородного уравнения . Его правая часть , т.е. имеет вид . Роль многочлена делает (27х – 39) –многочлен первой степени Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами).; не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, означает, ищем в виде:

. Тут - многочлен первой степени с неведомыми коэффициентами А и В, которые требуется отыскать. Для определения А и В дифференцируем два раза : ;

.

Подставляем отысканные значения в данное неоднородное уравнение:

Сократив на , получим равенство 2-ух Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). многочленов:

,

(**)

Понятно, что два многочлена одной и той же степени равны, если они имеют равные коэффициенты при схожих степенях х. Приравнивая эти коэффициенты в левой и правой частях равенства (**), получим систему уравнений для определения неведомых коэффициентов А и В.

При ; при . Подставив во 2-ое уравнение значение А ,получим:

Обнаружив А и В Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). , запишем вид личного решения : . Тогда общее решение уравнения равно .

Пример 78. Отыскать общее решение уравнения: .

Решение. Общее решение данного ЛНДУ ищем в виде: , где - общее решение соответственного ЛОДУ; - личное решение ЛНДУ.

1)Выпишем соответственное ЛОДУ: и находим его общее решение . Характеристическое уравнение: имеет корешки , как следует, .

2)Находим личное решение ЛНДУ : .

Его Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). правая часть имеет вид: , т.е. представлена в виде произведения числа (-16), являющегося многочленом нулевой степени ( на экспоненту, у которой коэффициент в показателе степени является двукратным корнем характеристического многочлена: . Тогда ищем в виде: Для определения коэффициента нужно и его производные подставить в левую часть уравнения. Найдём и :

Подставим Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). выражение для , ', '' в данное уравнение:

Сократив обе части на и приведя подобные, получим: 2А= 16, А= 8. Как следует, разыскиваемое личное решение имеет вид: . Таким макаром, общее решение данного уравнения запишется в виде: .

б) Правая часть ЛНДУ (9.13) имеет вид: ,

где M, N – данные числа.

В данном случае личное решение необходимо Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). находить в виде:

,

где А и В – неведомые числа;

r – кратность, с которой всеохватывающая сопряженная пара α ± i β заходит в число корней характеристического уравнения.

Пример 79. Отыскать общее решение уравнения у'' – 2у' – 8у = 17 sin3х+6cos3х.

Решение. Соответственное однородное уравнение у'' + у' – 2у = 0. Решаем

его k2 –2k – 8 = 0, k1 = 4, k2 = – 2.

.

Правая часть f(х) = 8 sin Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами).2х имеет вид , где α = 0, β = 2, М =0, N = 8. Потому что всеохватывающая сопряженная пара α ± iβ = ± 2i не совпадает с корнями характеристического уравнения (r = 0), то личное решение имеет вид: .

Дифференцируем и подставляем это решение в неоднородное уравнение:

;

.

Приравниваем коэффициенты при схожих тригонометрических функциях в левой и правой частях равенства:

при : ; при :

Из Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). этой системы находим А и В:

В = –1, А = 0. Тогда личное решение равно: , а общее решение неоднородного уравнения имеет вид: .

Ряды

Числовые ряды

Пусть задана нескончаемая последовательность чисел (реальных либо всеохватывающих) .

Определение.Числовым рядом именуется выражение вида

.

Сокращённо ряд записывается последующим образом: . При всем этом числа именуются членами ряда, а число - общим членом Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). ряда.

Определение.Суммы вида именуются частичными суммами ряда.

Ряд считается данным, если известен закон составления каждого его члена, т.е. .

Определение. Числовой ряд именуется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм: . В данном случае число S именуется суммой ряда. Если не существует либо равен бесконечности, то числовой ряд именуется расходящимся и суммы Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). не имеет.

Пример 80. Написать формулу общего члена ряда: а) ;

б) .

Решение. а) Если члены ряда – дроби, то для записи закономерностей их получения раздельно рассматривают числители и знаменатели. В данном примере числа 2, 5, 8, 11, …, стоящие в числителях членов ряда, образуют арифметическую прогрессию, потому что каждое следующее число отличается от предшествующего на одно и то Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). же число , называемое разностью прогрессии. Понятно, что для арифметической прогрессии n-ый её член может быть найден по формуле: , где - 1-ый член прогрессии; - разность.

Тогда для прогрессии 2, 5, 8, 11, …, имеем .

Знаменатели членов ряда 3, 32, 33, … представляют собой геометрическую прогрессию, потому что каждое следующее число получено из предшествующего методом умножения его на одно и тоже число, равное Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами). 3, которое именуется знаменателем геометрической прогрессии. Понятно, что для геометрической прогрессии её общий член может быть найден по формуле: , где - 1-ый член прогрессии, - знаменатель прогрессии.

В нашем примере имеем , тогда .

Как следует, общий член ряда записывается в виде: .

б) Числители - 1, 4, 9, 16, … - квадраты поочередных натуральных чисел: . Знаменатели можно записать так: т.е Теорема( о конструкции общего решения ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами).. Указание. По определению, факториалом числа n именуют произведение натуральных чисел от 1 до n, т.е.: . При всем этом считают по определению, что .

Чередование символов у членов ряда можно получить при помощи сомножителя . Итак, .


tempi-zrostannya-okremih-vid1v-vidatshv-zvedenogo-derzhavnogo-ta-mkcsvih-byudzhetov-za-cinciib-cherven-2010-2012-roshv-por1vnyano-z-poperedn1m-peryudom.html
templan-2004-11-168-isbn-5-02-010218-0-gavrilov-a-g-sostavlenie-perevod-stati-pri-mechaniya-2007-stranica-16.html
templan-2004-11-168-isbn-5-02-010218-0-gavrilov-a-g-sostavlenie-perevod-stati-pri-mechaniya-2007-stranica-4.html