Теорема о пределе сложной функции.

Пусть F(x)=f(g(x)) - непростая функция.
Если предел g(x) при x стремящемся к x0 равен y0,
а предел f(у) при у стремящемся к у0 равен z0,
то тогда предел F(x) при x стремящемся к x0 равен z0.

Если функция у = f(x) имеет в точке а Теорема о пределе сложной функции. конечный предел b и не воспринимает значения b в некой о проколотой округи U(a) этой точки, а функция g(у) имеет в точке b конечный предел с, то непростая функция g(f(x)) имеет предел в точке а и он равен с.

73.1-ый превосходный предел .

Аксиома 1-ый превосходный Теорема о пределе сложной функции. предел равен

Подтверждение. Разглядим два однобоких предела и и докажем, что любой из их равен 1. Тогда по аксиоме 2.1 двухсторонний предел также будет приравниваться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке скрещения горизонтальной Теорема о пределе сложной функции. оси с окружностью ( ). Обозначим точку скрещения луча с углом наклона с окружностью буковкой , а с вертикальной касательной -- буковкой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть -- площадь треугольника , -- площадь радиального сектора , а -- площадь треугольника . Тогда разумеется последующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота Теорема о пределе сложной функции. треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Потому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно сейчас записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, потому его можно записать так:

либо (умножив на ) так:

Предел неизменной 1 в правой части неравенства Теорема о пределе сложной функции., разумеется, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по аксиоме "о 2-ух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось обосновать, что . Сначала заметим, что , потому что приравнивается длине дуги окружности , которая, разумеется, длиннее хорды . Применяя аксиому "о 2-ух Теорема о пределе сложной функции. милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

(2.3)

Обычная подмена переменной указывает, что и . Сейчас заметим, что . Применяя аксиомы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2.4)

Тем показано, что

Создадим сейчас подмену ; при всем этом база перейдёт в базу (что значит, что если , то ). Означает,

но ( -- нечётная функция), и потому

Мы проявили, что левосторонний Теорема о пределе сложной функции. предел также равен 1, что и завершает подтверждение аксиомы.

Доказанная аксиома значит, что график функции смотрится так:

Рис.2.28.График

74.2-ой превосходный предел .

2-ой превосходный предел существует. Его значение -- число, лежащее меж и .

Более подробное исследование числа указывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных символов которого таковы:

Для подтверждения аксиомы 2.15 нам Теорема о пределе сложной функции. пригодится последующая лемма; формула, в ней приобретенная, именуется формулой двучлена Ньютона.

Лемма 2.2 Пусть и -- натуральное число. Тогда имеет место формула

Заметим, что в дроби разумеется, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в прошлом (не выписанном) слагаемом после сокращения выходит коэффициент, равный , в 3-ем справа слагаемом -- равный Теорема о пределе сложной функции. , и т. д. Таким макаром, коэффициенты в слагаемых, стоящих на схожих местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.

Подтверждение. Обосновывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула 2.2, разумеется, верна:

(Заметим, что при и формула 2.2 также отлично известна:

и

Представим, что она верна для Теорема о пределе сложной функции. , и докажем, что тогда она верна и при . Вправду,

При всем этом в квадратных скобках выходит:

и т.д., другими словами как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы двучлена Ньютона при .

Подтверждение аксиомы 2.15. Разглядим последовательность и применим к формулу двучлена Ньютона при и . Получим

Покажем, что последовательность ограничена сверху Теорема о пределе сложной функции.. Для этого заменим все дроби , , ..., на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы (Подтверждение аксиомы 2.15) возрастет:

Дальше, заменим все числа в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё возрастет. Получим:

В правой части вышла сумма членов геометрической прогрессии. Она равна

Потому

что и Теорема о пределе сложной функции. значит ограниченность последовательности сверху числом 3.

Покажем сейчас, что последовательность не убывает. Вправду, запишем формулу (Подтверждение аксиомы 2.15) в виде

В аналогичной формуле, написанной для заместо , во-1-х, возрастет каждое из выражений в круглых скобках (потому что вычитаемое уменьшится) и, означает, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-2-х, число слагаемых возрастет на одно Теорема о пределе сложной функции.: добавится положительное слагаемое

Как следует, при росте номера члены последовательности строго растут: при всех .

Применим сейчас к растущей ограниченной сверху последовательности аксиому о пределе однотонной ограниченной функции ( аксиома 2.13) и получим, что существует предел

причём число не больше неизменной 3, ограничивающей последовательность. Осталось увидеть, что . Потому что все следующие члены ещё Теорема о пределе сложной функции. больше, то и предел , на основании аксиомы о переходе к лимиту в неравенстве ( следствие 2.7), не меньше числа , что и завершает подтверждение аксиомы.

Замечание 2.7 Можно также показать, что

(2.5)

но серьезное подтверждение довольно тяжело, и мы его тут пропускаем.

В формуле (2.5) можно сделать подмену , при всем этом база перейдёт в базу , и мы получим

Непрерывность Теорема о пределе сложной функции. и односторонняя непрерывность функции в точке. Главные понятия и определения.

Функция именуется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее округи;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Замечание. При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно перебегать Теорема о пределе сложной функции. к лимиту под знаком функции, другими словами

Пример. Задание. Вычислить предел

Решение.

Ответ.


template-for-proposing-new-mars-science-laboratory-landing-sites.html
temu-kotoruyu-mi-hotim-razvit-segodnya-eto-terrorizm.html
ten-brejvika-v-norvegii-prohodit-antiterroristicheskie-ucheniya-internet-resurs-b-portcom-31102012.html