Теорема Виета. Примеры решения

В этой лекции мы познакомимся с любопытными соотношениями меж корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения в первый раз нашел французский математик Франсуа Виет (1540—1603).



К примеру, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя Теорема Виета. Примеры решения его корней, можно, воспользовавшись аксиомой Виета, сходу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно
т. е. - 2. А для уравнения х2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; меж иным Теорема Виета. Примеры решения, тут несложно додуматься, чему равны корешки: 4 и 2.
Подтверждение аксиомы Виета. Корешки х1 и х2 квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формулам



где D = b2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корешки,
получим



Сейчас вычислим произведение Теорема Виета. Примеры решения корней х1 и х2 Имеем



2-ое соотношение подтверждено:
Замечание. Аксиома Виета справедлива и в этом случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в данном случае считают, что уравнение имеет Теорема Виета. Примеры решения два схожих корня, к которым и используют обозначенные выше соотношения.
В особенности обычной вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. В данном случае получаем:

x1 = x Теорема Виета. Примеры решения2 = -p, x1x2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
При помощи аксиомы Виета можно получить и другие соотношения Теорема Виета. Примеры решения меж корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, к примеру, х1 и х2 — корешки приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. Тогда



Но основное предназначение аксиомы Виета не в том, что она выражает некие Теорема Виета. Примеры решения соотношения меж корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Еще важнее то, что при помощи аксиомы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в предстоящем не обойдемся.



Подтверждение. Имеем



Пример 1. Разложить на множители Теорема Виета. Примеры решения квадратный трехчлен Зх2 - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх2 - 10x + 3 = 0, найдем корешки квадратного трехчлена Зх2 - 10x + 3: х1 = 3, х2 = .
Воспользовавшись аксиомой 2, получим



Есть смысл заместо написать Зx - 1. Тогда совсем получим Зх2 - 10x + 3 = (х Теорема Виета. Примеры решения - 3)(3х - 1).
Заметим, что данный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без внедрения аксиомы 2, использовав метод группировки:

Зх2 - 10x + 3 = Зх2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, видите ли, при всем этом Теорема Виета. Примеры решения методе фуррор находится в зависимости от того, сумеем ли мы отыскать удачную группировку либо нет, тогда как при первом методе фуррор гарантирован.
Пример 1. Уменьшить дробь



Решение. Из уравнения 2х2 + 5х + 2 = 0 находим Теорема Виета. Примеры решения х1 = - 2,



Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х1 = 6, х2 = -2. Потому
х2- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А сейчас сократим заданную дробь:



Пример 3. Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x2+6; б)2x+-3
Р е ш е Теорема Виета. Примеры решения н и е. а) Введем новейшую переменную у = х2. Это позволит переписать данное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а конкретно в виде у2 + bу + 6.
Решив уравнение у Теорема Виета. Примеры решения2 + bу + 6 = 0, найдем корешки квадратного трехчлена у2 + 5у + 6: у1 = - 2, у2 = -3. Сейчас воспользуемся аксиомой 2; получим

у2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x2 , т. е. возвратиться к данному выражению. Итак,
x4 + 5х2+ 6 = (х2 + 2)(х2 + 3).
б) Введем Теорема Виета. Примеры решения новейшую переменную у = . Это позволит переписать данное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а конкретно в виде 2у2 + у - 3. Решив уравнение
2у2 + у - 3 = 0, найдем корешки квадратного трехчлена Теорема Виета. Примеры решения 2у2 + у - 3:
y1 = 1, y2= . Дальше, используя аксиому 2, получим:



Осталось вспомнить, что у = , т. е. возвратиться к данному выражению. Итак,



В заключение параграфа — некие рассуждения, опятьтаки связанные с аксиомой Виета, а поточнее, с оборотным утверждением:
если Теорема Виета. Примеры решения числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = - р, x1x2 = q, то эти числа — корешки уравнения
При помощи этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь массивными Теорема Виета. Примеры решения формулами корней, также составлять квадратные уравнения с данными корнями. Приведем примеры.

1) х2 - 11х + 24 = 0. Тут x1 + х2 = 11, х1х2 = 24. Несложно додуматься, что х1 = 8, х2 = 3.

2) х2 + 11х + 30 = 0. Тут x1 + х2 = -11, х1х2 = 30. Несложно додуматься Теорема Виета. Примеры решения, что х1 = -5, х2 = -6.
Направьте внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня или положительны, или отрицательны; это принципиально учесть при подборе корней.

3) х2 + х - 12 = 0. Тут x1 + х2 = -1, х1х2 = -12. Просто додуматься Теорема Виета. Примеры решения, что х1 = 3, х2 = -4.
Направьте внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корешки различны по знаку; это принципиально учесть при подборе корней.

4) 5х2 + 17x - 22 = 0. Несложно увидеть, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х Теорема Виета. Примеры решения1 = 1 — корень уравнения. Потому что х1х2 = -, а х1 = 1, то получаем, что х2 = - .

5) х2 - 293x + 2830 = 0. Тут х1+ х2 = 293, х1х2 = 2830. Если направить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится понятно, что х Теорема Виета. Примеры решения1 = 283, х2 = 10 (а сейчас представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения при помощи стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтоб его корнями служили числа х1 = 8, х2 = - 4. Обычно в таких случаях Теорема Виета. Примеры решения составляют приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0.
Имеем х1+ х2= -р, потому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Дальше, х1х2= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q Теорема Виета. Примеры решения = -32, означает, разыскиваемое квадратное уравнение имеет вид х2-4х-32 = 0.


tendenciya-k-etike-formuliruyushej-pravilnie-modeli-povedeniya-bolee-pozitivno-chem-v-predshestvuyushuyu-epohu.html
tendenciya-razvitiya-kriminalisticheskoj-taktiki.html
tendenciya-uhoda-vneshnij-barer.html