Теоремы сложения элементов симметрии.

Хотя в кристалле может быть несколько различных частей симметрии, их совокупа не может быть случайной. Трехмерная периодичность структуры кристалла накладывает жесткие ограничения на вероятные сочетания частей симметрии. Дело в том, что элементы симметрии связаны вместе, взаимозависимы. Вправду, последовательное выполнение 2-ух операций симметрии g1 и g2 само является операцией симметрии, потому Теоремы сложения элементов симметрии. что оставляет фигуру постоянной: А(g1)→ А´(g2)→А´´ эквивалентно А(g3)→А´´. Эта 3-я операция g3именуется равнодействующей двум первым g1и g2, а последовательное выполнение 2-ух операций симметрии – умножением операций. Таким макаром, если G –полный набор операций симметрии данной фигуры, аg1, g2 єG – операции из этого набора, тоg1◦g Теоремы сложения элементов симметрии.2 єG–операция из этого же набора. Так как это правильно для всех операций симметрии из данного набора, то они составляют замкнутую группу (т.е. поочередным перемножением всех пар операций мы получим все операции из этой же группы, и ничего сверх этого).

В геометрической кристаллографии принято гласить не об умножении Теоремы сложения элементов симметрии. операций симметрии, а о сложении частей симметрии. Правила, которые позволяют по двум элементам симметрии отыскать 3-ий, им равнодействующий элемент симметрии, именуются аксиомами сложения. Разглядим эти аксиомы.

Все элементы симметрии кристаллических полиэдров являются осями симметрии – ординарными либо инверсионными (m и C сводятся к Li2 и Li1 соответственно). Потому все аксиомы Теоремы сложения элементов симметрии. сложения для полиэдров являются личными вариантами общей аксиомы Эйлера: поворот вокруг 2-ух пересекающихся осей симметрии эквивалентен повороту вокруг третьей оси, им равнодействующей (и проходящей через точку их скрещения).При практическом определении частей симметрии кристаллических полиэдров аксиомой Эйлера воспользоваться неловко. Потому употребляют более обыкновенные личные варианты этой аксиомы.

Аксиома Теоремы сложения элементов симметрии. 1. Две поворотные оси симметрии второго порядка, пересекающиеся под углом λ, дают в качестве равнодействующей поворотную ось симметрии порядка n с простым углом поворота α=2λ, перпендикулярную обеим начальным осям.

Следствие 1а.Если поворотной оси симметрии порядка n перпендикулярна поворотная ось симметрии второго порядка, таких осей второго порядка будет n (столько, каковой порядок начальной Теоремы сложения элементов симметрии. оси).

Следствие 1б. Если инверсионной оси симметрии порядка nперпендикулярна поворотная ось симметрии второго порядка, таких осей второго порядка будет столько, каковой порядок обычный оси, совпадающей с инверсионной (3 для Li3, 2 для Li4, 3 для Li6).

Аксиома 2. Две плоскости симметрии, пересекающиеся под углом λ, дают в качестве равнодействующей поворотную ось Теоремы сложения элементов симметрии. симметрии порядка n с простым углом поворота α=2λ, совпадающую с линией скрещения начальных плоскостей.

Следствие 2а. Если через поворотную ось симметрии порядка n проходит плоскость симметрии, таких плоскостей будетn (столько, каковой порядок начальной оси).

Следствие 2б. Если через инверсионную ось симметрии порядка n проходит плоскость симметрии, таких плоскостей будет столько, каковой порядок обычной Теоремы сложения элементов симметрии. оси, совпадающей с инверсионной (3 для Li3, 2 для Li4, 3 для Li6).

Аксиома 3. Поворотная ось симметрии второго порядка и плоскость симметрии, пересекающиеся под углом λ, дают в качестве равнодействующей инверсионную ось симметрии порядка nс простым углом поворота α=180○-2λ, лежащую в плоскости симметрии и перпендикулярную начальной оси второго порядка. ( Замечание: если заместо Теоремы сложения элементов симметрии. плоскости симметрии разглядеть перпендикулярную ей инверсионную ось второго порядка, пересекающуюся с начальной поворотной осью под углом λ´=90○-λ, получим α=2λ´, как и для прошлых теорем).

Следствие 3а.Если через инверсионную ось симметрии с простым углом поворота α проходит плоскость симметрии, то имеется перпендикулярная инверсионной оси поворотная ось симметрии второго порядка под углом к Теоремы сложения элементов симметрии. плоскости симметрии λ=90○-α/2. Аналогично, ось L2,перпендикулярная инверсионной оси, дает плоскость симметрии, проходящую через инверсионную ось и делающую с осью L2угол λ=90○-α/2.

Следствие 3б.Если плоскость симметрии перпендикулярна поворотной оси симметрии второго порядка, то на их скрещении имеется центр инверсии. Справедливы и все перестановки в этом утверждении: центр инверсии и Теоремы сложения элементов симметрии. плоскость симметрии дают L2, перпендикулярную плоскости; центр инверсии и ось L2 дают плоскость симметрии, перпендикулярную оси (см. рис.2.10).

Так как неважно какая ось симметрии четного порядка включает ось второго порядка (поворот на 180○ равен 2×90○ либо 3×60○), то следствие 3б можно расширить: ось четного порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии дают на Теоремы сложения элементов симметрии. их скрещении центр инверсии. Комфортно также последующее расширение: если есть центр инверсии, то плоскостей симметрии столько, сколько осей четного порядка (и напротив).

Внедрение теорем сложения существенно упрощает определение частей симметрии кристаллических полиэдров.


teni-napisano-na-stihotvorenie-teni.html
tenioz-doklad.html
tennisisti-chej-mezhrajonnij-rejting-trebuet-utochneniya.html